【计算机图形学】（二）旋转与四元数

旋转与四元数

摘要

本文主要介绍三维旋转的几类重要表示方式，以及在游戏及其他工程领域最为常用的四元数的相关概念、性质、运算法则和常用公式。

一、三维旋转变换的表示方式

1、欧拉角

直接给出$x$（俯仰）、$y$（偏航）、$z$（滚转）三个轴向的旋转角，优点是表示简单直接，容易理解，但存在万向节死锁的问题（当两个轴重合时，会损失一个自由度）。

2、轴角

顾名思义，用一个轴$n$和一个角$\theta$表示旋转，其中轴是旋转轴，默认用一个过坐标原点的三维向量表示，角表示绕这个轴旋转的角度，轴角表示为一个四元组$(x,y,z,\theta)$。

但轴角也存在明显的缺陷，一方面，因为角度的周期性，任何$2n\pi$的旋转都等价于没有旋转，这在某些情况下是不可接受的；另一方面，由于轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先$(x,y,z)$是一个3维坐标下的矢量，而$\theta$则是极坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等；此外，轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量，必转换为矩阵或者四元数。

3、矩阵

计算机图形学中，一般以矩阵形式表示旋转，对于三维空间的点或向量，将其表示为齐次坐标形式，则绕不同旋转轴的旋转矩阵为：

而对于任意旋转，都可以分解为这三个轴的旋转，可以利用Rodrigues旋转公式将轴角表示的任意旋转转换为矩阵形式：

矩阵表示法可以直接施加于点或向量，计算相对方便，也叫容易理解，但在实际工程中，如果我们要存储一个对象的旋转参数，就要存储这个对象的旋转矩阵，一共16个浮点数，对空间消耗较大，并且矩阵形式同样无法进行简单的插值，因此在实际的游戏开发及其他工程应用中，存储一个对象的旋转，通常采用四元数的形式。

4、四元数

四元数像是轴角表示法的优化版本，但解决了所有轴角可能存在的问题，最大的优势就是便于插值，并且存储时只需要存储4个浮点数，而且求逆、串联等操作比矩阵更方便，相比于轴角和矩阵优势巨大。

对于四元数的理解，可以看作是有一个实部和三个虚部构成的虚数，描述的是四维空间，具体可以看可视化理解四元数。

二、四元数

四元数的全部公式和运算法则以及与矩阵等形式的转化，可以查看四元数(Quaternions)，这里对常用的关键公式进行总结。

四元数表示为$(x,y,z,w)$，其中
$$
x=i·q_1·sin(\theta/2) \
y=j·q_2·sin(\theta/2) \
z=k·q_3·sin(\theta/2) \
w=cos(\theta/2)
$$
其中$(iq_1,jq_2,kq_3)$是表示旋转轴的矢量，$\theta$表示绕此轴旋转的角度。对四元数$q_2$左乘一个四元数$q_1$，其作用是将$q_2$拉伸$q_1$的模长，再作用一个特殊的四维旋转。所以我们用单位四元数来表示三维空间中的旋转，因为单位四元数模长为1$(w^2+x^2+y^2+z^2=1)$，而旋转时必须要保证的就是，一个向量旋转前后模长不变。